Questão de Hidrostática

Um tubo cilíndrico de longitude L é submergido até a metade em mercúrio, tapado com um dedo e puxado. Ao submergir parte do mercúrio se derrama. Qual a longitude da coluna de mercúrio que fica do tubo? A longitude da coluna de mercúrio equivalente à pressão atmosférica é H.

Solução:

Chamando a pressão na situação 1 de p1. Nessa situação o tubo está aberto e por isso a pressão é a atmosférica que de acordo com o enunciado equivale a pressão de de uma coluna H de mercúrio, então:

p1 = patm = dgH

Na situação 2 com o dedo tapando a extremidade superior do tubo o mercúrio desceu até ocupar uma altura "h" e o ar no tubo ocupando uma altura "y". Sendo assim o comprimento total do tubo L será

L = y + h

nos levando a

y = L - h

A pressão externa do mercúrio é a atmosférica e no interior do tubo é a soma de p2 (pressão do ar aprisionado no tubo) e a pressão da coluna "h" do mercúrio restante:

p2 + dgh = patm
p2 + dgh = dgH
p2 = dg(H - h)

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O ar na situação 1 é o mesmo que ocupa o tubo na situação 2. Usando a transformação isotérmica desse ar:

p1V1 = p2V2

V1 = SL/2, V2 = Sy (o volume = área da base X altura)

dgHSL/2 = dg(H - h)Sy
dgL/2 = dg(H - h)(L - h)

resolvendo algebricamente nos leva a uma equação do segundo grau em h

h² - (H + L)h + HL/2 = 0

resolvendo esta equação chegamos a:

h = [(H + L) - (H² + L²)^1/2]/2

a raiz encontrada com o sinal "+" é descartada, pois leva a um absurdo.