Para caracterizar um sistema mecânico é necessário introduzir uma função que contenha as informações de sua posição, sua velocidade e do tempo. Em outras palavras é necessário saber o onde, o como e o quando.
A posição é representada pelo vetor r, a velocidade por v = dr/dt e o tempo por t. A função que contém essas informações é chamada Equação de Lagrange:
L(r,v,t)
O Problema
A maior dificuldade é passar de L (Lagrangeana) para as equações de movimento.
O Método
Quando um objeto precisa ir de um ponto A até um ponto B ele pode fazê-lo de infinitas maneiras (trajetórias). Reta, parábola, elipse,... No entanto a trajetória efetuada é aquela que leva a ação mínima.
Dois exemplos:
1 - A queda Livre:
Uma pedra em queda livre parte do ponto inicial i (ponto mais alto) ao ponto final f (o solo) poderia ir de i até f por vários caminhos (ir a lua e voltar, por exemplo), mas cai na vertical (uma reta) é a trajetória que corresponde ao mínimo da ação. Partindo de L chega-se a:
h = gt²/2
que é a equação da queda livre
2 - A lei da refração (Lei de Snell-Descartes):
Quando a luz passa de um meio 1 para outro meio 2 com características diferentes a trajetória não é uma linha reta e obedece a equação:
n1 seni = n2 senr
Essa equação acima pode ser obtida a partir de L.
Provavelmente você já deve ter ouvido falar que a menor distância entre dois pontos é uma curva e não uma reta. Isso pode ser provado usando o princípio da ação mínima de L.
Este é chamado Princípio Variacional de Hamilton.
Um comentário:
Vou mostrar sua equação para minha filha.
Se eu aventurar ler alguma coisa vou ficar com dor de cabeça.
Minha filha ama química e acho que física vai atrá-la também.
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